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　　好，我是爱讲数学的李老师，今天给大家带来一道自行车里边尺数与转数常见应用题的讲解。 蓉蓉有一辆自行车，前齿轮四十八个齿，后齿轮十六个齿，车轮的直径是七十厘米，蓉蓉蹬一圈自行车能走多少米？那当然在这看到了是有一个进滤的换算的啊，但是这个不是最主要的，我们来先分析下提议， 前齿轮四十八个齿，后齿轮十六个齿，那这个在说明什么呢？我们在这里边呢有一个公式，就是前轮的尺数 啊，我简写，乘以前轮的转数，就应该等于后轮的尺数乘以后轮 的转数，所以在这我们一看这个以后，就知道他其实尺数和转数之间是一个反比的关系， 那什么意思呢？我们应用到这道题里边，那么他已经说了，前齿轮呢有四十八个齿，那么后齿轮呢有十六个齿， 那么在这呢就知道同等的情况下，那么前轮的转数和后轮的转数之间呢，应该存在一个几倍的关系呢？四十八除以十六，也就是有一个三倍的关系， 因为前齿轮大，后齿轮小，所以前齿轮转一圈，后齿轮就得转三圈，那么我们在这 蹬一圈是哪个齿轮转的呢？很明显是脚蹬子控制的前齿轮，所以应该是 蹬一圈是指前齿轮转了一圈，那么后齿轮就会转的是三圈，那么后齿轮与自行车的后轮是连接的，所以会导致自行车车轮也会转三圈， 那所以他就仅仅联系到了自行车能走多少米，其实就是走了三个自行车车轮的周长， 那所以我们在这呢算出来三个自行车车轮的周长就行了，也就是说其实是三 c 啊，那么当然我们往前带一下， c 呢，周长应该等于的是排第， 那么三乘以派地地在这呢，直径本来应该是七十厘米啊，但是我们最后要米，那现在呢，我们提前给他画一下，就是七十厘米呢，应该等于零点七米，所以我们在这呢就带成零点七了。 还是那个道理啊，别带派，别带派啊，别提前把三点一四带进去了啊。先算三乘以零点七等于二点一派，然 后接下来怎么去算来着，可能同学们应该还记得啊，是把三点一四写在上边，二点一写在下边，来计算乘法啊，利用我们背的那些派 一，那么三一四二六二八，然后四九五六，然后三位小数，正确答案六点五九四米就可以了。好，这就是我们今天给大家讲的这道题，谢谢大家。

　　学习自行车里的数学通过本节课的学习，我们要综合运用所学的圆比例等知识，解决简单的实际问题。 在解决问题的过程中，能根据生活中的情境抽象出数量关系，并培养建模能力。好，首先温故之心， 请你说一说下面美题中两种量成什么比例？第一个，口袋中的钱一定买的苹果，质量与单价成什么比例？ 因为单价乘数量等于总价，所以乘反比例。二，车速一定时，行驶的路程 和行驶的时间成什么比例呢？因为路程除以时间等于速度，所以这时候成正比例。同学们，你们都认识自行车吧？你认识的自行车有哪些种类呢？ 有普通的自行车，还有变速自行车，还有电动自行车。这节课我们来探究自行车蹬一圈能走多远。首先找一辆普通的自行车，测量出以下数据， 这辆自行车蹬一圈能走多远呢？我们先来认识自行车各部分的名称，这是前车轮，这是后车轮，这是脚 踏。这是前齿轮，这个是后齿轮。这辆自行车蹬一圈能走多远呢？ 我们可以直接测量，在地面上记下他的起点，将自行车蹬一圈， 然后记下他的终点，再用米尺测量出两点之间的距离。这种操作方法很简单，但是测量的误差可能比较大， 有其他方法吗？还有第二种测量方法，测量计算。 你知道自行车是怎样向前运动的吗？秘密在这里哦！当我们用脚蹬 自行车时，前齿轮带动后齿轮转动，后齿轮带动后轮转动，后轮推动着前轮转动，这样自行车就能往前运动。 观察自行车的两个齿轮，前齿轮转动一圈的长度就是链条走过的长度，也是后齿轮转动的长度。后齿轮转动不止一圈。 再看前齿轮的齿数，成前齿轮的转数就等于链条走过的长度， 后齿轮的尺数乘后齿轮的转数也等于链条走过的长度。所以 以前齿轮齿数乘前齿轮转数等于后齿轮齿数乘后齿轮转数。 因此，当前齿轮转动一圈时，后齿轮的转数就等于前齿轮齿数与后齿轮齿数的比，也就是后车轮的转数。 那么蹬一圈的路程就等于前齿轮齿竖与后齿轮齿竖的比成车轮周长。我这样说，你听明白了吗？ 我们给出数据，算一算这辆自行车一圈到底能走多远？因为登一圈的路程等于前后 齿轮尺数的比乘车轮周长，所以我们带入数据等于四十八比十九乘二乘三点一，四乘三十六计算，约等于五百七十一点一厘米， 这就是自行车蹬一圈走的距离。接下来我们继续探究变速自行车能变化出的速度。 找一辆变速自行车，测量出前后齿轮齿数，看看有多少种组合填在表中。 思考灯同样的圈数，哪种组合使自行车走的最远呢？我们来找一辆变速自行车， 测量出前后齿轮的尺数。以这辆车为例，他有两个前齿轮，六个后齿轮。 我们把收集到的数据填写在表格中，前齿轮的尺数有四十八、四十两种， 后齿轮的尺数有二十八、二十四、二十、十八、十六、十四六种情况。 这是组成的笔，其中这两个笔直相等， 填表可知有十二种组合能变出十一种速度。下面我们来看灯同样 的圈数，哪种组合是自行车走的最远？根据灯一圈的路程，等于前后齿轮尺数的比，乘车轮周长， 同一辆自行车周长一定，这就意味着这个笔值越大，走的越远。 从前面的表格中，我们知道二十四比七的比值最大，所以登同样的圈数，前齿轮尺数为四十八，后齿轮尺数为十四的时候，变速自行车走的最远， 你看明白了吗？下面来解答这道题目，一辆自行车的车轮直径是零点七米，前齿轮有 四十八个尺，后齿轮有十六个尺，蹬一圈自行车前进多少米？ 根据公式我们来看，题目中已知前齿轮四十八个尺，后齿轮十六个尺， 车轮的直径已知，也能求出周长，所以我们直接带入公式，等于四十八比十六乘三点一四乘零点七 计算等于六点五九四米，也就是登一圈自行车前进六点五九四米。 再看这道题目，题目中已知前后齿轮的齿数，还知道蹬一圈前 前进的米数，让球车轮的直径，我们看公式，根据已知，这个笔可以列出来，二十八比十四，蹬一圈前进五米，球车轮的直径 我们就用五除以二十八比十四，再除以三点一四， 得到的就是车轮的直径计算约等于零点八零米。答，自行车的车轮直径是零点八零米。

　　这是，嗯，自行车里的数学啊，一辆自行车前齿轮尺数是二十六，后齿轮的尺数是十六，车轮的直径是六十厘米，这辆自行车前齿轮转一圈可以走多远？ 这是我们学习的自行车里的数学，是不是好？讲这个题之前，我再给你把这个自行车的工作原理书里面啊。首先你要知道，在自行车中有两个齿轮，一个是前齿轮，他大一些啊，画的比较潦草啊。还有一个 后齿轮，这个后齿轮就稍微小一些，他们是通过这样的链条是吗？连接起来的，对吧？嗯，好，这个前齿轮他是在这个脚踏这个位置啊，你的脚踏这是前齿轮所在的位置，而这 后齿轮他是后车轮所在的位置。来，当我们踩这个脚踏的时候，他带动的是前齿轮的转动，然后通过这个链条又带动了后齿轮的转动，而后齿轮在后车轮的位置，所以后齿轮带动后车轮的转动， 对不对？对。那后车轮是不是就带动了整个自行车的转动，是不是？是。好，那现在问题让我们求前齿轮 转一圈可以走多远？刚刚我们说了，自行车走多远主要决定的是后车轮转多远，是不是， 后车轮又是由后齿轮决定的，是不是？所以这个题我们只需要求出这个前齿轮转一圈，后齿轮转几圈就行了，是不是？嗯，所以这个 的解决关键点就在于求出后齿轮要转几圈，那我们怎么求呢？前齿轮转一圈，那一圈的话，他转了多少个尺？ 因为前齿轮的尺数是二十六，所以前齿轮转一圈的话，他是经过了二十六个尺，对不对？对，那就是二十六个尺， 而后齿轮因为他们是通过这样的链条给他连接起来的，你看链条这样凹进去的和这个，呃，齿轮上凸出来的这个尖尖和这个凹进去的，他是相互互补的，是不是？ 所以前齿轮经过二十六个齿，他转一圈经过了二十六个齿，那后齿轮他是不是也得经过二十六个齿？是，但是 后齿轮只有十六个尺，所以他需要转可能不止一圈，对不对？对，所以这个圈数是等于多少呢？是要等于十六去乘这个后齿轮的圈数，是吧？ 有问题吧？没有。那这个圈数后齿轮能转几圈？求的出来吧？求的出来，所以这个圈数就等于二十六除以十六，等于一点六二五，一点六二五圈。 这个我们上课已经总结了公式啊，这个前齿轮转一圈，后齿轮转的圈数是用前齿数除以后齿数，所以你下次可以直接用公式了啊。好，我们求书。 后齿轮是需要转一点六二五圈，以后我们就知道了，后车轮也是需要转一点六二五圈， 而车轮是圆形的，所以球可以走多远？是不就球一点六二五个圆的周长是不是？是，那周长怎么球 三点一四？快递直接，因为题目中给的是直径，就是三点一四乘六十，然后呢？这是一圈，对不对？再乘一点六二。

　　今天我们来讲解一下人教版六年级数学下册的自行车里的数学，这个呢也是一门学问，他说有些人会起有些人不会起啊， 不过会骑的话也可以骑着去当做是短期的一个旅游也行。短途的旅游啊，就你说骑很长那种就有点像马拉松了呀，对不对？ 嗯骑那种骑长什么长路程或者说长距离的骑行啊，那有些人呢是把骑行当做一种比赛，有些人把骑行当做是一种 休闲娱乐的方式对吧。啊我们一般的话会骑行去怎么样？是不是说去哪里玩呢？会这样子对吧？当然我们当时的时候呢都是骑自行车上 学那些都有的，现在的话一般都是坐车对吧，去上学条件好了啊，来看一下普通的自行车是这样的对吧，还有呢是啥呢？是不是变速的自行车呀 啊嗯还一种就是我们的电动自行车喽，这种的话也可以踩，没有电的时候你可以踩对吧。 嗯所以说款式是多样的啊。那我们来看一下自行车的话它的一些各部分的名称也可以简单聊聊聊聊这个我就不多说了，总之就是先了解了解先。嗯 在哪里的话是最重要的，我给你圈一下吧。好吧。啊这个呢你要知道哪些要记哪些可以不用记啊，你什么。嗯其他部分的话你不用记都行，先答案的话你自己要知道叫什么啊。我们 数学的话我们主要是抓住重心先吧，其实我们要记得是这两个轮子懂吗？啊对轮子的话有前轮有后轮吧啊对吧。 对有前轮有后轮他的话会有转的这个圈数啊，对吧？嗯， 你踩的话一般是向前踩的嘛，他就会向前走，是由这个链条啊带动他转动的，然后导致他的话会向前。简单看就行啊，这个不用背，你不要说。哇，这么多名称啊，压力好大呀，不用啊。 嗯，好，我们来看一下，就知道有这个东西存在就行了。好，那么我们来看一下，他说邓一圈是谁转动了一周，他说后齿轮转动的圈数，实际上是谁转 动了圈数。那我们呢？你，你要知道你瞪着走的话，你两个轮子是同时走了，对不对？嗯，是这样还是怎么样？先看后面的吧。他说怎么样才能够知道。他说前齿轮转一圈，后齿轮转几圈呢？ 这个呢就是我们需要探讨的一个问题，他说链条间的一个孔与前后两个磁孔的每一个齿是一对应的，你的前齿轮转动一个齿，后齿轮也一定会转动一个齿，说白就同步进行了吗？ 嗯，对吧，应该踩过单车吧，这个有点感觉吧。嗯，好，来看一下，就有那个词啊，所以其实这里呢隐藏了一个 公式。叫什么公式啊？就是前齿轮的尺数乘上前齿轮转的转动的圈数，然后呢，后齿轮的一个尺数乘上后齿轮转动的圈数，他们是相等的。 嗯，其，也就是说前齿轮和后齿轮他们所装过的周长是相等的嘛，懂吗？ 嗯，理不理解？嗯，理解。对，另外呢你要知道为什么说是此数呢？不说距离呢，其实这个呢是属于封闭的一个环形问题嘛，相当于嘛， 跟我们的指数问题呢，是很相似的，就比如说我们在十二点钟的方向种一棵树，在三点钟的方向种一棵树，在六点钟的方向种一棵树，在十二点钟的方向种一棵树，那么总共呢？ 话就中了，是不是四棵树，对吧？如果说用此树来表示的话，有多少个齿呢？是一个、两个、三个、四个齿，同时他也有四段呢，发现没有 啊？你把这四段曲线的路程加起来，那不就是整一个圆吗？就是一周了吗？发现没有？嗯，所以你要知道啊，其实你这个尺数，前齿轮的尺数，其就相当于他们的中尺数啊， 就相当于谁，就相当于是他转动一周的周长，懂吗？嗯，会了没？嗯嗯，然后呢？再乘上他转动的圈数嘛，说白了就总共就能转了多少圈呢？嗯，可以理解吗？嗯，可以理解。 对，这一步要知道啊，铁比较重要啊。嗯嗯，你看前齿轮转一圈，那后齿轮转的圈数，对吧？既然前齿轮的尺数乘上前齿轮转动的圈数，会等于后齿轮的尺数，乘上后齿轮转动的圈数，我们对它进行变形的话，那么就可以得到 他存在这样的一个关系，比如说你后齿轮转动的圈数，他就会等于前齿轮的尺数乘上前齿轮转动的圈数，再除以后齿轮的尺数。其实说白了，你就把他左右两边同时除了个后齿轮的尺数吗？得到了吗？ 对吧？嗯，那以此类推喽，你要求这个后齿轮的尺数，对吧？那你是不是就可以将你这个前齿轮的尺数乘上前齿轮转动的圈数，再除以后齿轮转动的圈数啊？没错吧， 那又是同样的道理，如果要求这个前齿轮的尺数呢，它是就会等于后齿轮的尺数乘上后齿轮转动的圈数，在左右两边同时除以前齿轮转动的圈数啊， 对吧？所以前前齿轮转前齿轮的尺数就会等于后齿轮的尺数乘三后齿轮转动的圈数再除以前齿轮转动的圈数吧。嗯，对，那以此类推了。如果说是多少？如果说是前齿轮转动的圈数呢， 它是不是就会等于后齿轮的尺数乘乘后齿轮转动的圈数再除以你这个前齿轮的尺数，这样就搞定了呀，对不对？嗯，对，没有问题吧。嗯，那么在这里呢，有一个非常重要的公式，那就是前齿轮的 的尺数乘上前齿轮转动的圈数就会等于后齿轮的尺数乘上后齿轮转动的圈数。说白就他们最终转出来的周长是一样的，懂吗？可能他们转的圈数不同，但是他们最终所转过的周长呢，是相等的。这样理解啊， 啊，好了吧。嗯，那么这里的公式呢，要记住啊，就是前齿轮转一圈后齿轮转动的圈数，它呢就会等于前齿除以后齿啊，就是前齿的一个尺数除以后齿的尺数，这个呢，要知道 其中千齿轮的尺数那是四十八个词，那写四十八，你再将它乘上个一嘛。嗯，再 除以你这个后齿轮的尺数，你可以发现这个后齿轮的尺数是有十二个尺吧，对不对？嗯，再乘上它的一个侧轮的周长喽，你看侧轮的直径是零点八米，对吧？你要周长可以用拍 d 嘛，那就是三点一四， 再乘上这个 d 的话是零点八呗，没有错吧？嗯，对，没有错。好，到这里呢，你可以稍微约一下分也行啊，用十二去约十二除以十二是一，四十八的话，除以十二是四吧。 嗯，对吧，那这样呢，就变成相当于是四层上三点一四喽。 嗯，再乘上个零点八，嗯，他呢就会等于十二点五六， 再乘上零点八，这个呢，算出来六八四十八，对不对？后面算出来结果呢就是十点零四八，嗯，单位呢？是米啊，嗯， 对吧？嗯，啊，是这样子来。那你可能会说，老师，那我如果不用这个公式，我能不能用其他？那么后面这个公式怎么来的呢？前齿轮转一圈，后齿轮转动了圈数，后齿轮转动了圈数，就会等于前齿轮 它的尺数乘上一，再除以这个后齿轮的尺数。为什么会有 e 呢？其实就是公式变形变运过来的呗，所以我们记的话就是记两种，对吧？嗯，第一个呢，是瞪一圈转 过的这个路程，他呢就会等于是不是前齿轮的尺数除以后齿轮的尺数。对，再乘上 车轮的周长啊，没错吧。嗯，而第二个公式呢，就是前齿轮的尺数乘上前齿轮转动的圈数，它就会等于后齿轮的尺数乘上后齿轮转动的圈数啊。 嗯，那如果要推的话，很简单呢，怎么得到一呢？你转不是转一圈吗？前齿轮吗？你就这相当这个呢，是一吗？对不对？ 嗯，那这样的话，就变成你再把左右两边同时除以后齿轮的尺数，那右边的话，后齿轮除以后齿轮的尺数，那不是一了吗？就将来是后齿轮的尺数，就为等于前齿轮的尺数乘上前齿轮转动的圈数，就一，对吧。 嗯，然后呢，就是说前齿轮的尺数乘上一嘛，再除以这个后齿轮的尺数咯，因为这个零左右两边同时除以它嘛，对不对？嗯，对，所以就得到这个公式。后齿轮的转动的圈数就为等于前齿轮的尺数乘上一，然后再除以这个后齿轮的尺数就行了。 这个呢，你可以有时呢，也也可以知道，如果知道三个量，比如说知道前齿轮的尺数，前齿轮转动的圈数以及后齿轮转动的圈数，你也可以求出他后齿轮的尺数是多少个，懂吗？也可以利用这个比例式，也是可以的，所以说比较灵活。 来看一道类似的题， b 车轮的直径是零点八米，他说前轮是四十八个尺，后轮是十六个尺，他问的是蹬一圈 b 车跑多少米。那我们同样的可以套用我们的公式，将前齿轮的尺数 四十八，再除以它后齿轮的尺数十六，对吧？再乘上它自行车的车轮的周长，周长的话就是拍 d 喽，那就是三点一四，乘上这个 d 的话是零点八。 嗯，然后呢，我们可以对它进行一下约分，四十八除以十六的话，很明显，我们分子分母同时除以三嘛。哦，同时除以十六嘛，十六除以除六是以四十八，除以十六呢，就等于三。那接着呢，我们就再将这个三乘上这个三点一四， 再乘上个零点八，嗯，最终算出来的结果呢，就是七点五三六。嗯，单位呢？是米，所以你会发现其他公司 去解的话，还是挺快的啊，嗯，对吧？嗯，可以这样来理解啊。嗯， 变速自行车的主要结构图有两个，前齿轮，此数分别是四十八和四十六个后齿轮，此数分别是二十八、二十四、二十、十八、十六和十四。 右表是一种变速自行车前后齿轮的尺数，让我们去算出这种自行车的前后齿轮的尺数比，填在表格当中，看看有多少种不同的组合。 记住啊，是前后齿轮的尺数的比，那这里呢，应该是四十八比上二十八吧。嗯， 对，然后呢，你是不是应该把它化剪一下？嗯，化剪的话用什么去呢？ 你可以用四去也行，对吧？四十八除以四呢是一四得四，二四得八，二十八除以四呢是四六二十四，四七二十八。那十二比七呗。所以就这样来去写这个呢，后面我就不帮你算了，因为这个呢，都一样的啊，对不对？嗯， 呃，好，来看一下后面的啊， 变速自行车，他说前齿轮的个数和后齿轮 它的个数呢是不同的组合， 在这里的话，你要能够去看出来， 因为组合的不一样，你就会发现，就会导致他的啥不一样，就可以导致他可以变速了。当然这个对自行车有颇有研究的人会比较了解，我们的话，如果学生没有去组装过，没有去把它进行骑过这样的车的话，可能感觉不到啊。 嗯，有有机会可以接触一下就知道了啊。对，他说邓，同样的圈数，哪种组合能够使自行车走的最远呢？ 嗯，那很明显应该是当嗯前后齿轮的尺数的笔值最大的时候，他的自行车走的就最远。嗯，这个理解吧，你的笔值的尺数 度大，对吧？嗯，就走到最远。这几个结论呢，你要记一下答案的话，你说老师我就不是很了解，不是很理解，怎么办呢？这个呢，你只能够通过实地的测试的话就更加了解啊，如果说不知道的话，你可能没有提过不知道这个东西存在， 但是呢，嗯，有机会再只能够说有机会再试下了，也不可能给你搬辆什么三 d 变速自行车给你，对吧？让你来去记，这个不太现实啊，就你记得就行了。前后齿轮的此处的笔直最大， 说明自行车呢叫走的最远， 你要判断谁走的远不远的话，你就直接去比较嘛，把它前齿轮与后齿轮的 此处相比较，懂吗？嗯嗯，把他们的比值求出来就 ok 了，这意思， 嗯，好，我们再来看一下他说上坡时应怎样搭配前齿轮，后齿轮才更省力呢？ 嗯，这呢也是挺讲究，对吧？上坡时应该选择齿轮数较小的前轮与齿轮数较大的后轮组合才更省 则上坡时选择此轮数较小的前轮，以此轮数较大的后轮。 嗯，这白上坡的话应该是齿轮数要小一些，懂吗？ 嗯，如果说是后齿轮的要大一些啊，它的一个组合是这样的一个组合，所以我们其实可以选，有时是可以调的啊， 好，来看一下这个吧。嗯，小明有一辆自行车，前齿轮的尺数为四十八，后齿轮的尺数呢是为十八，他说当前齿轮转六钻石就六圈嘛，相当于嘛，对不对？ 他说后齿轮转了多少转呢？其实多少圈的意思啊，懂吗？嗯 嗯，那我们要知道是对于这种你前齿轮后齿轮就前齿轮转了多少圈，后齿轮要转多少圈的问题，他呢，有一个数量关系式的，也就是说是这个 前齿轮的尺数乘上前齿轮转动的圈数，就会等于后齿轮的尺数乘上后齿轮转动的圈数。那你就看哪些量是一致的呀？有没有发现 你这个前齿轮的尺数，知道了，对不对？我们打个勾，而前齿轮呢？转到六六转，那现在是六圈嘛，对吧？这有椅子的后齿轮呢，它的一个尺寸都知道了，对不对？他要求后齿轮转动多少圈嘛？相当于嘛， 对吧？嗯，这呢就有两种方法了呀。那第一种，你把它进行变形喽，就直接得到它的后齿轮的尺数，你把它左右两边同时除以多少 是左右两边同时除以你这个后齿轮的齿数，就搞定了。嗯，是不是？嗯，你看左左边的话，除以后 后齿轮的尺数，它就变成后齿轮的尺数，分之前齿轮的尺数呈上前齿轮转动的一个圈数码， 嗯，对不对？嗯， 没有问题吧？就是前齿轮的这个尺数，你右边的话，把它除以后齿轮的尺数呢，直接就变成后齿轮转动的圈数，就等于他们分子是相乘，对不对？前齿轮的尺数乘上前齿轮转动的圈数，分母是后齿轮的这个尺数嘛，这样子一除就搞定了啊。 那我们把它一些相关的量呢带进去这个后齿轮转动的圈数，他就会等于前齿轮的尺数四十八，再乘上他前齿轮转动的圈数六转，对吧？就六圈嘛。 然后呢？再除以，现在是左右两边同时除以后齿轮的尺数啊，这不，再除以这个后齿轮的尺数是十八吧？对，四十八乘三六呢，就会等于二百八十八， 再除以十八，他的话就会等于十六啊，也就说后齿轮的话应该是转了个十六圈， 什么时候带这个公式呢？就是说当他问你前齿轮转多少圈，后齿轮又转了多少圈的问题，对吧？ 那你就可以用这个公式直接单元去算就 ok 了，当然，我们呢，也可以用我们的比利时也行嘛，对吧？列出个比利时来可不可以呢？也可以的啊，你可以直接去假设后齿轮转了 x 圈嘛，嗯，对不对？那么前齿轮的此处呈上 多少？你看是四十八，对吧？乘上它的一个前齿轮转动的圈数六圈，它就会等于后齿轮的尺数十八，对吧？再乘上后齿轮转动的这个圈数 是多少？是不是 x 啊？没错吧？嗯，我们一般是把 x 写在哪边？写在左边的嘛，所以就调换过来喽，就十八 x， 对吧？他就等于四十八乘上六嘛，你看，其实一样的啊，他等于多少呢？是不是十八 x 啊，他就会等于二百八十八， 然后呢，你可以将它左右两边同时除以十八，嗯，右边呢就二百八十八，再除以多少，是不是再除以这个十八呀，对吧？那这样呢，就可以得到 x 呢，就为等于十六嘛，单位呢？是钻 十六多少？钻的话就说白就多少圈的意思啊。嗯， 好了没？嗯，当然的话，这是方程嘛，你是肯定不能够这里写啊，你答案要写这个单位，再如果说方程就不要在这里写单位啊。最后呢，再作答，对吧？后齿轮是转了十六圈就搞定了啊。

　　朋友们好，今天袁老师给大家分享六年级数学自行车里面的数学的重点知识。 咱们朋友们知道自行车里边啊，他有前车轮，后车轮，重点部分是中间有这个大齿轮和脚踏字连在一起的，就是脚踏步连在一起的， 那么后面还有个小齿轮，这个大齿轮和小齿轮是通过这个链条连接起来的。好，这个叫 前齿轮，就是前面那个齿轮，这个叫后边那个齿轮，那么中间链条连接，那么链条连接。咱们同学们知道链条里边有那个锁扣，它是一环扣一环扣的，所以在运动的过程当中，我们会发现，在相同的时间内， 前齿轮转动的总齿数和后齿轮转动的总齿数是相等的，这是一个非常重要的关系， 原因是原理是通过链条连接，在相同的时间内，前后齿轮转动的总齿数是相等的，所以我把这个关系写出来啊，就是前齿轮指数 呈前齿轮的转水 和后齿轮指数 与后齿轮转数相乘的记忆， 这俩相乘的机等于在相同的时间内后齿轮转动的总尺数，他俩相乘的机也是在相同的时间内。呃，前齿轮转动的总尺数，因为通过链条连接，所以他们的乘机是分别相等的，所以就得出这么一个乘机式。 那么有这个等式我们可以延伸到什么呢？如果前齿轮转动一周，就是用脚踏子蹬这个轮一周，那么后齿轮会转动多少周呢？其实就是前齿轮齿数与后齿轮齿数的比， 所以下一个关系也非常重要啊， 前齿轮齿竖 与后齿轮指数， 他俩的笔得到的这个笔直， 其实就决定了车运行快满的速度，那么这个笔直越大，那么车轮前齿轮转动一周，后齿轮转动的周数就越多， 那么这个笔直如果越小，前齿轮转动一周，后齿轮转动的中数就越少。 由此我们可以得出一个关系，就是说我们要是车跑的快， 我们要尽可能是前齿齿轮与后齿轮齿数的比的比值越大，那么做这个自行车，他的前轮上有两层齿轮，后轮上 高齿轮上有好几层，有的四层，有的五层，有的层数会少一些，那么这样子搭这样子，他们究竟怎样搭配呢？ 所以通过我们研究这个笔直，我们就会得到，如果这个笔直越大，车运行的速度就比较快，如果这个笔直越小，车运行的速度就比较这个 慢。那么由此我们可以得出，如果我们要是上坡的话，走上坡路的话， 上坡路的话，我们是不是使这个笔直要小一点，就是因为笔直小。有同学说了，那笔直大是跑得快，那我叫笔直大，但是挺好，事物都是一分为二的啊，笔直如果越大，他人是 用的力气就会比较大，笔直越小的话就会省力，所以我们在走上坡路的时候，尽可能省点力，使他的笔直小一些。好的上坡路我们就使这个笔直 小。笔直小的情况下，那究竟这个前齿轮和后齿轮怎样去搭配呢？就是这个变速自行车的问题啊，怎样搭配呢？要是他比直小，我们是用前齿轮的 小齿轮与后齿轮的大齿轮去搭配，就是使笔的前向尽可能小，使笔的后向尽可能大，才能使他的笔直最 小，所以搭配的方式是 前小搭后大， 这一个很关键啊。那如果是平常走路又特别好，我们是不是尽可能想使快一点啊？如果是平路的话， 路况有比较好的哈，我们是不是为了保证他的速度，就尽可能是他的比值大一些？ 那么笔直大的话，是不是要前齿轮与后齿轮相差的量尽可能大？那所以我们选择就要选择前齿轮 中的大齿轮去和后齿轮中的小齿轮去搭配，所以那就是前大， 大是大轮，小是小轮啊，搭配什么呢？搭后小？ 当然。哎，这个别我说的是这是两个极端啊。呃，这个的话是最慢的搭配，这个的话是最快的搭配， 那么当中还有好多种不同的搭配，要根据你具体的情况去合理的选择搭配。好的，如果喜欢老师的视频，请点赞加关注，感谢大家！

　　今天我们来讲解人教版六年级下册第四单元综合与实践自行车里的数学。 在正式学习这节课之前，请大家思考一个问题，自行车蹬一圈可以走多远？你有什么方法能够测量出来他蹬一圈走的距离吗？ 有的小朋友非常的聪明，他就想到我可以在车轮上怎么样哎，给他标注一个红点，然后呢我去蹬一圈这个自行车， 看一看红点走过的距离。那我们知道我们这样测量的方法可能会产生一定的误差，那有没有什么数学方法可以，比如说可以进行计算呢？这节课我们就一起来学习。 首先请大家想一想，我们蹬一圈是谁转动了一周后齿轮转动的圈数，实际是谁转动的圈数？第二个问题，怎样才能知道前齿轮转一圈，后齿轮转几圈？ 要想了解这些问题，那我们就要先去了解我们自行车转动的原理，我们知道我们自行车 的链条的孔与前后两个齿轮的每一个齿其实是一一对应的。那这个我们知道自行车一般情况下啊，都是 前面这个齿轮会比较大一点，他齿轮所指的地方是哪一块啊？就是我们的脚蹬 所在的那个，一般情况下都是用金属材料制成的，那个轴上面有一个像小锯齿一样的含脚蹬的那个，也就是在位置在前面那个叫前齿轮，那与后轮紧挨着那个在后轮的旁边，非常小的一个， 他是后齿轮。这时候其实我们会发现前齿轮和后齿轮每个上面都有像锯齿一样的东西，通过仔细观察你会发现刚才我们说了前齿轮要大于后齿轮，这里面所说的是他的直径， 他的工作原理就是我们的脚蹬，哎，你蹬一下，你肯定对这个脚蹬用力了，这个脚蹬呢就会将力传送到我们的前脚蹬上， 然后呢前脚蹬呢就会带动这个链条转动，链条通过转动链条再把这个力传到后齿轮上，然后后齿轮又开始转动，后齿轮转动之后，他就会带动我们的 后轮，就车子那个轮胎，那个大轮去转动后轮转动，再带动我们前面车轮的转动。这里面我分清车轮和齿轮，车轮指的是我们前面前后两个长得一模一样大小的圆， 就是我们车子挨着紧挨公路的那个圆，那齿轮呢，是安脚蹬的地方和后面那个小小的带，哎，带尖的那个地方他叫齿轮，一定要分 这两个关系。那通过刚才我们讲解啊，这个我蹬脚蹬去带动这个前齿轮转动，前齿轮呢，把这个通过这个传这个链条，把力传给后齿轮， 后齿轮转动，然后把力传给我的轮子，后轮后车轮，然后后车轮再带动我的前车轮，这样的话自行车就会往前走。那你就会发现我们刚才一直在说，哎，谁把力传过去了呢？是我们这个链条，其实你会注意链条中 每两个小结扣之间会有一个孔，他每转一下，哎，我们不管是前轮还是后轮，他的那个尖刚好会对应，哎，链条上中间的那个小孔。打个比， 比方说啊，我们，哎，我们俗称说到掉链子了，掉链子啥意思啊？就是我们那个什么呀，齿轮上那个尖尖，他没有对准，对准我们链条上的孔，那叫掉链子了。那我们通常情况他没掉链子，比如说每一个尖， 哎，他动一下就会对应一个孔。那这时候你可以想一下，我们前轮和后轮都是通过这一条链条去转动的，那也就是说，哎，我前轮走多远的距离， 其实你的后齿轮，你的前齿轮走多远的距离，那你的传送带就这个传送带指的就是个链条，这个链条就走多远的距离，那他就会带动你的后齿轮，哎，走相同的距离。这时候有小朋友非常聪明的就发现了，既然前 前齿轮和后齿轮，他们走过的距离是一样的，也就是说怎么样呀？哎，他走一下，他要对一下链条的孔，后面的齿轮同样也要对一下链条的孔，但是前面的齿轮明显大于后面的齿轮， 这时候会发生什么样的情况呢？我们举个简单的例子，打个比方，我们的 前齿轮，哎，总共有二十四个齿，啥叫齿？就那个尖尖的，而后齿轮只有十二个齿，那我说了，我前轮转一圈，哎，也就是转过了几个孔呀，哎， 转过了，走过了四个齿，那前轮前齿轮去带动后齿轮，那前后齿轮肯定也走过了二十四个齿， 是前面的走了一圈啊，他走了二十四个齿，那么说了，后面的齿轮肯定也要对应二十四个链条上的小孔，但是他一圈才十二个小孔了，哎，那说明后后齿轮要走几圈呢？ 是的，他要走两圈才能对应二十四个齿，所以说这个二十四个齿是咋来的呢？他总共才有十二个齿，他需要去跑两圈，那同样的，我们在想，如果前齿轮他自己走了两圈， 那一圈有二十四个尺，他总共走了八十四个，对吧？那后轮肯定也走了啊，走了四十八个，后轮肯定也走了四十八个，但是后轮走了几圈， 他一圈才有十二个了，他竟然走了四十八个，哎，说明他走了四圈，通过观察你会发现，是的，他怎么样呀？ 前轮一圈有二十四个齿，走两圈， 他走的尺数应该等于谁呢？对，等于我们后轮总共有十二个尺， 但是他走了四圈，也就是说他们走到这个什么呀？尺总尺数， 比如说经过链条那个小孔，那个数量应该是一定的，比如说换句话说，他们走过链条的长度应该是一定的，这时候你会发现呀，他其实就是前齿轮 尺数乘他的转数怎么样呀？应该等于后齿轮乘他的转数。为什么？因为前齿轮哎，经过链条让后齿轮转动起来，他们转动的总齿数是一样的，所以说 我们前齿轮他比较大，他转一圈的时候，我们的后齿轮肯定要转一圈多， 当然这个要根据我们具体的尺数去判断。就我们刚才举的例子，我前齿轮十二个轮， 我转两圈，那我后齿轮如果说有六个轮，他要想达到这总共这二十四个齿，他就需要转四圈。其实当我们真正的理解这个自行车的转动原理的话，理解起来这个会比较简单。 那如果说前齿轮转动一圈，哎，这个转数就是转动一圈，转动几圈就叫这个转数，转动一圈转数等于一，那后齿轮圈数应该等于几呢？那前齿轮尺数乘一还等于前齿轮尺数，这个式子就变，现在变成 前齿轮尺数，等后齿轮尺数乘转数，现在让我算后齿轮转的圈数，也算转数等于多少，它等于多少呢？很显然，这相当于一个鸡 因数因数让我们求其中一个因数就等于积除以另一个因数，所以说他的转数就应该等于前齿轮尺数除以后齿轮尺数。那通过刚才我们讲解这个自行 车的转动原理，那你知道我们蹬一圈是谁走过的距离吗？是前轮还是后轮呢？ 是的，他应该相当于我们的前齿轮转数啊，你想我们的脚蹬在哪安着呢？哎，在我们的前齿轮上，我们蹬一圈是蹬的，其实转一圈就是前齿轮，所以现在我蹬一圈是谁走过的距离呢？是我的前齿轮。 这时候你在想你穿前齿轮转动会发生什么样的情况呢？对，带动我们的链条，链条带动我们的后齿轮，后齿轮再去带动我们的 后车轮，我们把这个关系写在这个板面上啊，好，他就这样的，我的前齿轮通 过链条带动后齿轮，后齿轮去带动我的后车轮，后车轮去带动我的前车轮，这样依次循环，我自行车就会不断的往前走。那现在如果说啊，让我们去求， 哎，我自行车蹬一圈的距离等于什么呢？我们刚才说了蹬一圈的距离，他其实等于，哎， 他应该等于我们的前齿轮转一圈。那我想我们刚才求出来了啊，前齿轮转一圈的时候这是什么呀？ a， 后齿轮转数，那你想我的后齿轮转一圈， 我的后轮就会转一圈，那你想我知道了后轮转几圈，当然我也可以求我车轮的周长，这时候我就可以求我自行车蹬一圈到底走了多远的距离， 这里面我们一定要了解的就是，哎，我蹬一圈其实算的是前齿轮走一圈，那前齿轮走一圈的时候，是我后车轮先动的，我可以通过后车轮走的距离去求我蹬一圈走的距离。 那我后车轮走的距离咋算呢？就是我的车轮转了几圈，乘以车轮的周长就可以了，那刚好后车轮所转 动的圈数又等于后齿轮转动的圈数。好把式子写下来啊，就说后车轮转动的圈数应该等于后齿轮转动的圈数，那后齿轮转动的圈数怎么算呢？是根据我们刚才说的啊， 前齿轮转动一圈的时候，我们可以通过这个公式去求出后齿轮转动的圈数，从而就知道了后车轮转动的圈数，他 转一圈就是一个车轮的周长，他转两圈就是两个车轮的周长，这样讲的话，大家可能会更加的清晰一点。我们最后再来梳理一下啊，首先前齿轮带动我们的链条，然后把力传给 后齿轮，这时候链条在两个齿轮上走过的距离是一样的，那也就是说我前齿轮走过几个链条中的空隙， 后齿轮就要走过几个链条中的空隙，但是前齿轮比较大，后齿轮比较小，这时候就会产生前齿轮转一圈，后齿轮可能要转一圈多或两圈，甚至是三圈，当然这个跟齿轮数有关系， 那我们就可以根据题目中或现实生活中给我们的前齿轮和后齿轮的齿轮数，然后呢，我让这个前齿轮转一圈，我可以去计算后齿轮转动的圈数， 后齿轮转动的圈数计算出来之后，后齿轮转动的圈数和我自行车后车轮转动的圈数是一样的，那我的车轮转一圈， 我在乘车轮的周长就等于我车轮所走过的距离。这是今天所讲的所有的内容，你可以找一个模型，或者搜一搜关相关的这个视频，仔细的观察一下我们自行车的运动原理。我们来看这个题。 a， 车轮直径是零点八米，前轮是四十八个尺，后轮是十二个尺，那我们知道前轮转一圈，后轮就要转四圈，因为他们转过的总尺数是一样的，所以他转一圈，他需要转四圈，那你想后齿轮 转四圈，那后车轮也转四圈，车轮转四圈一圈走过的距离是一个车轮的周长，现在走了四圈，所以我们就可以求哎四个车轮的周长，车轮是一个圆，他告诉了我们直径，我们就可以通过什么呀派地 去求出他的周长，再乘四就可以了。所以这个题是这样解决的，这个今天的内容比较复杂，你一定要了解自行车的转动原理，然后仔细理解我们今天所学的两个公式。那我们今天的内容就讲到这里，我们下节课再见。

　　大家好，我是万万老师。今天我们来说一说自行车里的数学。自行车是我们常用的交通工具，自行车是靠齿轮带动车轮来进行转动的。大家有没有仔细观察过齿轮是怎样带动车轮的呢？骑过自行车的同学你一定发现了，在自行车上有链条，通过踩踏板可以带动后轮转动， 然后后轮推动前轮转动。没错，我们的自行车是后轮驱动的。因为链条间的孔与前后两个齿轮间的每一个齿都是一一对应的，所以前齿轮过一个齿后 后齿轮也一定转过一个齿。也就是说，无论是前齿轮还是后齿轮，他们转的总尺数是一定的，也就是说转的总尺数是相同的。由此，我们可以得到一个等级式，也就 就是前齿轮的尺数乘前齿轮的转速等于后齿轮的尺数乘后齿轮的转速。根据这个等级是，我们可以写出一个比例，即前齿轮的尺数比后齿轮的尺数等于后尺 齿轮的转速比前齿轮的转速。蹬一圈自行车走的距离呢？取决于后轮转的圈数。我们刚说自行车是后轮驱动的，也就是蹬一圈自行车走的距离等于车轮的周长，走一周的长乘后轮转的圈数。那后 路轮转的圈数我们怎么得到呢？因为前后齿轮的指数不一样。我们知道普通自行车的前齿轮的指数要多一些，后齿轮的指数要少一些。所以我们蹬一圈，也就是前齿轮转一圈的话，后齿轮可不止转一圈，后齿轮转的圈数要多一些。 后齿轮的圈数就等于前齿轮的尺数除以后齿轮的尺数。这几个式子大家一定要熟练掌握哦！下面我们来看一道填空题。 大小两个齿轮的比是七比三。如果小齿轮有二十四个齿，那么大齿轮有多少个齿？这里的二十四对应的是小齿轮，所以 大齿轮我们观察一下，从三到二十四是扩大了八倍。所以大齿轮呢，应该是七、八、五十六，大齿轮有五十六个齿。 我们再看第二题。一辆自行车前齿轮和后齿轮的尺数比是十五比七。如果前齿轮转二十一圈，那么后齿轮转多少圈？我们可以用这个式子，前齿轮的尺数乘 前齿轮转的圈数，也就是十五乘二十一，会等于后齿轮的尺数乘他对应的圈数。 那这个时候我们可以计算一下，十五乘二十一等于三百一十五，三百一十五除以七等于四十五，所以这里应该是转四十五圈。后面这里问如果后齿轮转三十圈，那么前齿轮转多少圈？那么根据这个比，后齿轮是七， 他转三十圈的话，应该是等于前齿轮十五乘他的圈数。七乘三十等于二百一十二百一十除以十五等于十四。所以这里前齿轮应该是转十四圈。我们再来看一道题。一辆自行车的车轮直径是零点八米，前齿轮有四十八个尺，后 齿轮有十六个齿。问蹬一圈能使自行车走多少米？首先我们先计算自行车的车轮的周长，用三点一四乘直径。然后我们再计算后轮转的圈数，也就是前齿轮 除以后齿轮的尺数。通过这个式子，我们可以计算出蹬一圈，后轮可以转几圈，计算一下，最后等于七点五三六，单位四米。答蹬一圈能使自行车走七点五三六米。这些你都会了吗？

　　骑独轮车过一段钢丝需要蹬二十八圈，车轮的直径给了呢是四十厘米。因为这个题比较长，所以我们刚看到这的时候，我们其实可以求出来他这个骑独轮车的时候所经过的这个路程 对吧？那么根据这个路程，我们可以先算在他一圈的长度，那就是派乘以 d 对吧？四 四十乘以三点一四，这个是一圈的路程，二十八圈，那就在乘以二十八，所以可以直接算出来这个是三千五百一十六点八厘米，就是我们所说的这段钢丝的长度。 然后这个听说了双轮自行车的前后轮前后齿轮的尺数比给了是五比三，然后前后轮的圆心距离给了是一百二十，他的直径呢？都是四十五厘米。问这个车子大约需要登多少 小圈？那么给大家画一个图来理解一下哈。假设这是这个钢丝，那这个是前轮，这个是后轮。他这个题说的什么意思呢？是这个前轮刚上，那这个就是前轮上到这个后轮下。 那么大家看一下他所走的路程是哪一段？这个图画的有点小了，那我们再算路程的时候，你说前轮的圆心所走的路程，那就标前轮的圆心到这边，这个前轮的圆心所走的路程，红色的这一段 对吧？看红色的这段包括几部分。首先呢，要说这段是钢丝的长度的，还没有因为少了这个这个车轮的一个半径，但是呢，看这边这还有一个半径，所以把左边的半径补到右边去，其实就相当于有一段是这个钢丝的长度对吧？相当于他所走的路程就是钢丝 的长度在外加一小段，哪段呢？是这个两个车轮圆心之间的距离，比如说钢丝的长，一定要再加上这个题目中所给的一百二十才可以。 好，那我们再回到这个题目中，刚才呢，我们算独轮车的时候，这个钢丝的长度，其实这个其实就是我们所说的钢丝的长度。是不是已经算出来了？钢丝的长度有了，再加上他所走的这个两个圆心的距离一百二十，也就是说总的路程。 双轮自行车所走的总的路程是我们可以算出来三千五百一十六点八，再加上一百二十， 这是双轮自行车所走的所有的路程。从这个题目中标的前轮上到后轮后轮下，对吧？那我们知道这个自行车所走的路程之前我们有个公式，自行车所走的路距离就等 于他的周长再乘以前轮前齿轮数比上后齿轮数。这个公式呢，大家可以分析一下啊。那么现在现在呢？他那个相当于是一圈的脚蹬一圈，现在这个题问的是需要蹬多少圈对吧？总的距离有了 三点一四，乘以这个数的第四四十五，相当于周长有了。而且这个前后齿轮的比呢，也有了，是五比三 啊。那我们写上分数的形式就是三分之五，总的距离有了，相当于总的距离，就等于车轮的周长乘以前车比后车轮再乘以他所走的圈数，对吧？那现在前这三项都有了，求圈数。所以呢，总的距离除以车轮周长，再除以三分之五。 往下这个是三千六百三十六点八，再除以一百四十一点三，再除以个三分之五。因为这个 dg 三量比较大，所以而且要求保留的是整数，所以答案是十五圈。

　　好，同学们中午好，今天呢，咱们来探讨一下，哎，如何利用正比例呢，去解决一些自行车里面存在的数学问题。这个呢，是咱们六年级下册第四单元最后一部分所讲到的一个拓展内容。 好，来看一下这样两个齿轮，自行车里面两个齿轮啊，一个大齿轮，一个小齿轮。好，嗯，换个颜色，咱们观察这两个齿轮呢，不管大小相不相同，有一部分啊，就这个齿的大小， 哎，这个尺的大小应该是一样大的，大小是差不多的，因为呢，他们将来呢，是要和咱们这个链条进行吻合的啊，如果一个大一个小的话，哎，不容易吻合。好，那么咱们再来观察一下，这个尺 转动起来的时候是什么样子的，看这个，看一下这个转动起来大概什么样子的，哎，是这个样子，转动起来是这个样子。 我们发现一个规律啊，这个齿轮在转动的时候呢，不管是大齿轮还是小齿轮，哎，他在相同时间内走过的齿的个数应该是相同的，走过的齿的个数是相同的。那咱们再来想一下，那走过的齿的个数应该等于什么呢？哎， 应该是等于咱们这个齿轮，齿轮一圈呢，有多少个尺，走了几圈呢？就是这个圈数乘以他的尺数，对不对？哎，有这样规律啊，你看，对于前齿轮而言，前齿轮转过的圈数呢，乘以他自己一圈的尺数，应该 等于前齿轮总共转过的齿的个数。对，后齿轮呢，也是一样，对，后齿轮也是一样，后齿轮转过的圈数呢，乘以后齿轮的齿数，应该也等于后齿轮转过的总齿数。 那么咱们再发现这两个齿轮呢，他是通过链条连接的，所以呢，我们可以得出个结论啊，这个前齿轮转过的尺数是等于后齿轮转过的齿数的，走过的尺数是相同的，因为他们都被这个链条连着呢， 这个应该是没有问题的。好，咱们再来看，那么我们知道了，前齿轮转过的圈数呢，乘以前齿轮的尺数，等于他在这一段时间内转过的总共的尺的个数，那后齿轮的圈数呢？乘以后齿轮的尺数，也应该等于后齿轮转过的总尺数。 哎，右边的两部分呢，是相等的，因为他们呀是被链条连接起来的，对不对？他们是连接在一起的，连接在一起的， 连接在一起的，所以呢，他们走过的总指数是相同的，哎，走过的总指数相同，那么咱们把等号左边的两部分 给他放到一块，那这两部分是不是应该也是相等的？因为后半部分相同，是不是，所以前半部分这两部分呢，也是相同的，我们可以得到，前齿轮转过的圈数，乘以前齿轮的尺数，应该等于后齿轮转过的圈数，乘以后齿轮转过的后齿的尺数啊， 那咱们要研究的是什么呢？这个圈数和尺数到底有什么关系？好，那么我们可以选择吧，这一部分啊后是 上过的圈数，给他移到等号的左边去，然后呢，我们再把前齿轮的尺数呢再移到等号的右边来看，咱们看看这个地方呢，前齿 轮状的圈数，哎，我们要把这个后齿轮状的圈数呢移过去，应该乘号变乘号吧，应该是除以后齿轮 的圈数，他们应该等于什么呢？我把这个移过来也变出号，应该是后齿轮啊，这个不变对不对？后齿轮的齿数 把它移过来，应该是除以前齿轮的次数吧， 全齿的齿兽 又是这个样子的，没有问题。那么咱们来看一下，我们把它这个除号呀，变成比号应该是什么样子的呢？来， 应该是这个样子的啊，前齿轮转过的圈数，看前齿轮转过的圈数，我们把这个后齿轮转过的圈数呢移过来了，中间的除号呢，改成了比号，应该等于后齿轮的尺数， 这个不变，再把前齿轮的尺数呢给移过来，比上前齿轮的尺数，这个相当于是把轴号改变成了比号，这个呢，我们知道一个什么呢？哎，他们的圈数比啊， 应该等于他们尺数比的反比，是不是应该等于尺数比的反比，这个有什么用呢？哎，因为一般我们的题目呀，给的都是他前后尺尺数，我们要把它转变成他们的圈数比。来，咱们来去下题目中去看一下，比如说这个题 好，某种自行车的前齿轮呢，有四十八个齿，后齿轮有二十个尺，如果前齿轮转动五圈，后齿轮转动多少圈呢？好，他给的是齿数笔，对不对？我们知道啊，圈数笔呢，刚好等于齿数笔的反笔。 咱们来看前齿轮的圈数，咱们简写为前圈数比上咱们的后圈数。后齿轮转过的圈数啊，他应该等于后齿轮的个数吧， 后齿轮的个数比上前齿轮的个数， 因为我们知道圈数比呢，等于尺数比的反比，那么我们就知道了，那前尺的圈数比上后尺的圈数呢，是不是应该等于后尺的尺数？比上前尺的尺数应该是二十比上四十八，对不对？ 咱们进行一个化减，二十比四十八呢，应该等于几呢？等于五底乘多少？一十二，五比十二。那么我们知道了，这个五呢，就是咱们的前尺的转过的圈数， 先出场的选手，十二呢，就是咱们的后齿轮转过的圈数，那是后圈数对不对？ 后车转过的圈数到这块呢，我们就知道，哎，咱们前车呢，如果转五圈的话呢，后车应该转十二圈， 问题好，咱们再看这样一道题，一辆自行车呢，前齿轮的尺数是四十八个，后齿轮的尺数呢是十二个，这辆车轮的直径呢是七十一厘米。问，你蹬一圈能够走多远？咱们知道蹬一圈呢，咱们蹬的应该是 前齿轮，对不对？这个要明白啊，真的应该是前齿轮，问你能走多远，咱们要看他走多远呢，我们是知道的，走过的距离呢，应该等于车轮的周长乘以车轮的圈数对不对？好，走过的距离 足够的距离呢，应该等于后轮是不是？ 后轮的周长乘以后轮转过的圈数，是不是后轮转过的圈数？ 这个我们是知道的，他的组的距离呢，应该等于后轮的周长乘以后轮转过的圈数。所以第一步呢，咱们得先算出后轮转过的圈数对不对？好了，我们知道了， 前轮转过的圈数呢，简称前圈，他比上后轮转过的圈数呢，是不是应该等于这个？后轮的尺数比上前轮的尺数对不对？ 好，他呢应该等于后尺数比上前轮的尺数，前尺数。 所以我们知道呢，前轮转过的圈数和后轮转过的圈数比呢？应该等于十二比四十八，对不对？ 十二等于四十八，那么这个结果呢，应该等于一比四，哎，应该等于一比四呀，那接下来呢，咱们就可以列这个比例了，咱们就射呢，后轮转过了 x 圈， 是后轮中的圈数呢，为 xx， 那么咱们列这个比例看前圈数呢， 比上后圈数，一比四应该等于咱们的前圈，前圈瞪一圈就是一比上呢，咱们的后圈 x， 咱们这个比例很好解啊，是不是？外向界的内向机是不是 x 呢？等于一乘以四，是不是？所以我们得到 x 呢，等于四，哎，我们知道灯一圈呢，咱们的后轮呢，就转动了四圈，对不对？ 后头转了四圈没有问题。那咱们的路程呢，这个距离呢，应该等于后有人的周长乘以后头转的圈数，对不对？所以这个路程，这个距离 是不是应该等于快递？是不是？三点一四乘以咱们的周长七十一，再乘上咱们中国的圈数，应该等于多少呢？应该等于八百九十一点 七六，对不对？八百九十一点七六厘米，那一般的话呢，我们需要把它化成米，对不对？那个是多少？八点九一七六米，对不对？好，没有问题，咱们再来看三个题，这个题 好说，某种自行车呢，前齿轮啊，有二十四个齿，后齿轮呢，有十六个齿，车轮的直径呢，是六十六厘米。小米。家呢，距离学校啊，大约四百九十七点三七六米， 从家到学校至少要登多少圈？别的同学会说，哎呀，这个数字太难算了，怎么还是三位小数呢？其实啊，给你这个数字呢，也就意味着将来你们除完他的周长之后呢，他应该是一个整数了啊，现在要问你，他登了多少圈，咱们知道呢，登的应该是前轮，是不是 真的是钱齿？所以呢，让你求的应该是前轮转过的圈数。好，那要求前轮转过的圈数呢？我们是不是得先找到前轮和后轮的圈数比是多少？好，我们知道，前轮转过的圈数呢， 比上后轮转过的圈数，他应该等于后轮转过的尺数，后轮的尺数对不对？比上前轮的尺数，他们是反比关系啊，所以呢，前轮的转过圈数呢，比上后轮转过的圈数应该等于十六， 比上二十四学分享，他应该等于多少呢？应该等于二比上三。哎，八月吗？二八十六，三八二十四，对不对？好了，我们知道了，前圈比后圈呢，等于二比三。好， 那么咱们再来看一下，咱们后圈数知不知道呢？暂时不知道对不对？那么但是我们可以计算呀，我们知道一点，哎，他的总距离，走过的总距离啊，走过的总距离呢，他应该等于后轮周长 乘以后轮转过的圈数。由此呢，我们 可以得到后轮转过的圈数呀，后圈他应该等于咱们的距离 垂咱们的后轮周长，对不对？应该是这个样子的，所以呢，咱们的后 后轮转过的圈数呢？哎，应该等于什么？四百九十七点三七六米是不是？当然呢，我要把它画成一个厘米，是不是 厘米呢？咱们要先乘上一个一百，然后呢，再除以咱们的周长，周长应该是派例，是不是 三点一四乘以一个六十六，咱们把括号去掉，这个一百呢，乘进去乘应该是四九七三七点六，对不对？除以一个三点一四，再除以一个六十六，他应该等于多少呢？ 等于二百四十圈，对不对？我们知道后头呢，总共转了二百四十圈，咱们再利用这个正比例来解啊，看， 咱们的前圈比上后圈呢，等于二比三，他应该等于咱们的前圈比后圈。前圈多少我不知道，我们可以射前圈呢，转个 x 圈对不对？也就是 x， 所以咱们的后圈，哎，咱们一定要记得呀，这个二是前圈，这里面我们的前圈呢，应该写在前面，三呢对应的是后圈，后圈要写在后面。解这个方程是不是？也就是三 x 等于二百四十乘以二，对不对？好，咱们的这个 x 呢，是不是应该等于二百四十乘以二，再除以三，对不对？应该等于多少呢？ x 应该等于一百六十， 对不对？所以呢，咱们的前面应该等蹬上一百六十圈，前圈数呢，应该是一百六十圈，应该等于一百六十圈，所以呢，咱们需要蹬一百六十圈。好，没问题。

　　同学们好，欢迎来到 今天，我们一起学习原教版小学数学六年级下册第四单元自行车里的数学。同学们，你们都认识 自行车吧？你认识的自行车有哪些种类呢？我们生活中的自行车有普通自行车、变速自行车、电动自行车等等。我们首先来研究 下普通自行车脚蹬齿轮与车轮之间的关系。我们想一想自行车中会有哪一些数学问题呢？自行车 说脏一圈能走多远？你有什么办法知道呢？有同学说，直接测量路上的距离就可以了，这种办法可行，但是误差比较大。那可以用计算的办法吗？怎样计算呢？有人说， 当一圈车轮子转一圈走的路，也就是车轮的一周的周长，你认为对吗？这是不对的， 蹬一圈，前齿轮转一圈，后齿轮不止转一圈，也就说后轮不止转一圈，所以先要球蹬一圈，后齿轮转几圈，前 齿轮转一圈，后齿轮转几圈呢？我们有这样一个数量关系，前齿轮转的圈数 乘以前齿轮的指数，等于后齿轮转的圈数乘以后齿轮的指数，也就是前齿轮转一圈。那么后齿轮转的圈数极为 前齿轮的指数比后齿轮的指数，也就是后齿轮状的圈数，应该为这一个值。 当一圈自行车走的距离的计算公式，所以就会得 到车轮的周长乘以前齿轮的尺数比后齿轮的尺数的比值。那么就等于当一圈自行车走的距离。 想齿轮转一圈，后齿轮转多少圈呢？比如说前轮指数是四十八，后轮指数是 十六的话，那么后轮转动的圈数就是四十八，比十六等于三圈。又比如说前轮尺数是四十八，后轮尺数是十二， 那么后轮转动的圈数就应该等于四十八，比十二等于四，同样的道理也可以得到这一个等于三 单圈。同学们，你能算一算，蹬一圈这个自行车能走多远吗？好，前齿轮的尺寸 等于四十八，后齿轮是十六。根据刚才的公式，我们就可以首先求出这个车轮的周长三点一四乘以直径七十一。 要在成语前齿轮比后齿轮的笔直三就得出了灯一圈自行车所走的距离。接下来我们看一下变速自行车能组合 合出多少种速度呢？这个后齿轮六种齿数，前齿轮两种指数， 那么他们的组合就有那么多，我们看一下一共有十二种组合， 我们思考一下，当同样的圈数，哪种组合是自行车走 的最远呢？前后齿轮齿数相差最大，笔直也就最大， 这样的组合走的就最远。车速快，但是骑车的人比较费力， 同样的前后齿轮的指数相差笔直比较少的时候，车速就比较慢，但是骑车人比较省力。 我们再看一下一种自行车，前齿轮二十六个齿，后齿轮十四个齿， 车轮的半径是三十三厘米，蹬一圈可以前进多少厘米呢？我们首先求出车轮的周长，给出半径，所以用三点一四乘以三十三，再乘以二， 然后再乘以前后齿轮的笔直，所以计算出来约等于三百八十五厘米，所以张宇轩自行车前进了约三百八十五厘米。 同学们，这节课我们主要学习了自行车的相关知识，我们掌握这两种数量关系，就可以解决生活中的自行车的数学问题。 同学们，这节课上到这里，谢谢大家。

　　看一下这个题，他说了这辆自行车蹬一圈能走多少米？那我们知道像这个自行车所走的路程呢？他其实是有一个公式的，相当于自行车走的路程等于车轮的周长，再乘以前齿轮的尺数，比上后齿轮的尺数。 那么从这个图上呢，可以看到前齿轮，因为在这个自行车上面，位于前边的就是这个稍微大一点的前齿轮尺数，那就是三十六，后齿轮那就是十二，对吧？所以下边呢，直接带入这个式子中，车轮周长直径给了那球套的周长，相当于直接是派乘以 d， 对吧？那再乘以前齿轮数三十六，后齿轮数是十二，对吧？相当于六十，乘以三点一四，再乘以三，可以算出来这个结果是五百六十五点二，但是这个地方单位是 厘米啊，这个是非常容易出错的，他设计到了一个单位换算，题目中问的是能走多少米，所以最后一步再进一个单位换算，五百六十五点二厘米，就等于五点六五二，单位是米。

　　好，我们现在看到自行车里面的数学活动一，一辆自行车脚踏板蹬一圈能走多远？那么这个小同学说，他说我们可以直接找一辆这个 自行车蹬一圈，然后直接测量，但是这种的方法呢？误差是比较大的，对不对？那么有没有更精确的方法呢？ 啊？我们先来了解一下自行车的工作原理，那么他的原理是我们两个脚是踏在这个脚踏板上的，然后脚踏板交叉这样转一圈，那么这个前面的这个齿轮就会转一圈，这个是前齿轮啊，这前齿轮，那么这个是后齿轮， 前齿轮踩一圈，后齿轮就会转，这个前齿轮就会通过这个链条带动后齿轮去转动， 然后齿轮断动，就会带动这个轮胎去转动，所以这个自行车就会开始走了，对不对啊？所以是脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动这个轮胎动，对吧？ 好，那么脚踏板蹬一圈，带动前齿轮转一圈，前齿轮转一圈的尺数和后齿轮转过的尺数是相同多的，转过的尺数是相同的。举个例子， 假如说这里前齿轮有四十个尺数，就这个尖尖的有四十个尺数，那么后齿轮假如他有二十个尺数。 好，那你想一下，前齿轮转动一圈是转动了四十个齿数，而后面转一圈只有二十个，那我怎样才能变成一样多呢？因为他这个齿轮他走 一格，他也走一格，他走一个尺数，他也走一个尺数，对不对？所以他们两个肯定是相等的，所以后面呢，就要怎么样，就要转两圈，他才会等于前面这个尺寸数转一圈。 好，那么下面有个公式，就是把这个东西反过来写了，就是前齿轮，前齿轮的这个尺数乘以一圈，那前齿轮尺数乘以一圈，那么等于后齿轮的尺数，这是后齿轮的尺数乘以两圈乘以它转动的圈数，它能够它需要转动两圈就乘以二， 对吧？所以这个时候我们再通过这个式子，我们就可以知道，这里要后齿轮转动的圈数，他就等于前齿轮的尺数，除以后齿轮的尺数，就是你把这个移过去，那么就会得到一个这样的一个式子， 这样的一个式子，好吧，他这里是写成了分数的形式，其实你可以把这个分数线当做是除法就可以了。 那么后齿轮转动的圈数就是这个车轮转动的圈数， 后齿轮转动几圈，那个这个轮胎就转动了几圈，轮胎转动几圈，你可以算出这个轮胎的周长，然后他转动一圈能走多少米，那转两圈能走多少米，你就可以算出来了，你就把这个圆的周长算出来，乘以二，就可以看，就可以看出这个车子这个自行车 骑了多远，就是他蹬一圈的时候，对不对？好，那么下面有个表格，他叫我们自己去测量一下自行车的数据，我们就是还跟刚才一样啊，就假设前齿轮的尺数是二十个啊，不是四十个，前齿轮是四十个，后齿轮 二十个，对吧？那么这个车轮的半径一般来讲都是三十厘米左右，我们就定一个三十厘米，三十厘米到四十厘米之间啊，那么蹬一圈的路程是多少？好，那么这里我们先要看一下他能够蹬几圈，用这个式子去算， 那用这个式子去算，那么它的这个转动的圈数， 他就用前齿轮的尺数，前齿轮是四十个啊，除以后齿轮的尺数二十个，那么就等于两圈。 对，他能转动两圈，后轮能转动两圈，这个轮胎的半径是三十厘米，对不对？我们要可以算出他的周长，对吧？那么就是用他的周长，这 这个轮胎的周长乘以二，周长等于派二，派啊，乘以二，好，那么就等于二，乘以三点一四，再乘以三十厘米，再乘以二啊，那这里最后的结果就等于啊，算一下啊， 就是三百七十六点八厘米，所以这里蹬一圈的这个路程是三百七十六点八厘米 就可以了啊。好，那么前面研究了灯一圈的情况，那么接下来我们要研究灯两圈以上的情况，想一想，如果前轮转前齿轮 这个转动两圈，三圈、四圈，你能发现后齿轮转动的圈数与前齿轮的这个仔细读一下啊， 你能发现后齿轮的尺数，转动圈数与前齿轮的尺数、转动圈数有什么关系吗？那那么这里其实成正比例的前齿轮的你，我们要知道， 假如说这个前齿轮和后齿轮他转动的尺数是相等的，他蹬的，假如说他是四十个，他蹬一圈，他是等于后面齿轮的这个尺数蹬两圈，这样就算了，因为他蹬这个所转动的这个尺数都是相同多的，这个非常重要。 好，所以我们这里再转换出这个公式来，那么前齿轮的尺数乘以它的圈数，就等于后齿轮的尺数乘以它的圈数。我们左右移一下，我们把这个移到这边来，就会变成了除以后齿轮的尺数就变成了这样。 那么这个呢？移过去也变成了储，就变成后齿轮的齿，这个转动的圈数除以前齿轮转动的圈数，这样的一个公式他是可以推出来的，他这个推出来的，就拿我们刚才的例子来说， 就拿我们刚才还是拿刚才的例子来说，前齿轮对不对？它有四十个齿，它转动一圈， 它是等于后齿轮，它有二十个齿柱乘以两圈， 对不对？好，那么方程我们都知道，移向过去，移过去之后我们都会变成除法，对吧？我们这里用把这个齿轮移过来，就变成了除以二十就是四十个齿轮尺数，除以二十个尺数，它是等于什么？这里有个两圈， 两圈是后面的齿轮，就是两圈除以一圈，这样的一个关系啊，就是这样的一个公式。

　　自行车作为生活中常用的交通工具，为我们所熟知，常见的有像这样的普通自行车、变速自行车和电动自行车等等。 同时自行车也是一项很好的体育运动，选择自行车出行和锻炼的人也越来越多。生活中处处有数学，这自行车里也藏着许多数学知识，今天我们就一起来研究自行车里的 数学问题。请看老师在这里已经准备好了一辆自行车，同时也测量出了他的前齿轮数、后齿轮数和车轮的半径。喏，那么这辆 自行车蹬一圈能走多远呢？你准备怎样解决这个问题？或许你想到了，我们蹬一圈量一下就知道了。黄老师也是这样想的， 于是我做了三次试验，测量出的结果每次都不一样，可见测量出来的结果误差比较大。 其实我们还可以用已经掌握的数学知识来解决这个问题，一起来分析一下。咱们先把这个动画放大，正如你所看到的，自行车的工作原理其实并不复杂，它是由脚踏踏板带动 前齿轮，踏板转几圈，前齿轮就转几圈，接着由前齿轮通过链条带动后齿轮，在这里链条仅仅起到传动的作用， 前齿轮转动一圈的长度就是链条所走过的长度，后齿轮也要转动同样的长度。所以前齿轮和后齿轮其实可以看作是两个相互咬合的齿轮， 而后齿轮则固定在后轮上，后齿轮转多少圈，后轮也会跟着转多少圈，最后由后轮推动前轮，这样就能 能让自行车向前移动了。通过刚才的分析，我们知道了自行车蹬一圈就是指前齿轮转动一圈， 而自行车能走多远，则取决于后齿轮转的圈数与轮子周长的乘积。轮子的周长我们可以通过它的半径来计算。 因此这个问题的关键就在于前齿轮转一圈，后齿轮会转几圈， 他们之间有什么关系呢？让我们继续观察。为了方便观察，老师取掉了链条，将前齿轮与 后齿轮咬合在了一起，并且在轮齿上做了标记。让我们一起来观察一下前齿轮转一圈，后齿轮会转多少圈？看仔细喽！ 后齿轮转了一圈，两圈， 三圈，这个时候前齿轮的标记点正好 转了一圈，让我们把观察的结果记录下来，仔细看一看，聪明的你一定发现了这里的四十八乘一等于十六乘三，这不正说明了前齿轮尺数乘前齿轮篆数会等于 后齿轮尺数乘后齿轮篆数吗？我们在等式的两边同时除以后轮的尺数， 就可以得到后轮的转数等于前轮尺数与后轮尺数的比乘前轮的转数。由于这里前轮的转数是一，因此这个式子也可以看成当前齿轮转动一圈时， 后齿轮的转数会等于前齿轮的尺数与后齿轮尺数的比值。 我们把刚才得到的结果带回来，可以得到蹬一圈能走的路程会等于前齿轮尺数与后齿轮尺数的比值。乘轮子的正 周长等于四十八比十六乘二乘圆周率乘半径等于六点二一七二米，所以这辆自行车蹬一圈能走六点二一七二米。说完了普通自行车，下面咱们来说一说 变速自行车，题目要求我们找一辆变速自行车，测量出它的前后齿轮尺数，看看有多少种组合。 这里老师已经给大家准备好了，他的前齿轮有两排齿轮，尺数分别是四十二个和三十二个。后齿轮有五排齿轮，尺数由多到少分别是二十八个、二十四个、二十个、十八个和 和十四个。我们可以通过连线的方法很快的得到前面两排齿轮和后面五排齿轮一共可以组成十种组合。 这种问题当然难不倒大家，那么这辆自行车灯同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远呢？在前面的学习中我们已经知道， 自行车能走多远取决于后齿轮转多少圈。当灯的圈数一定时，后齿轮转的圈数则取决于前齿轮尺数与后齿轮尺数的比值，比值越大， 转的圈数则越多。老师把这十种组合以及他们的尺数比 都归纳到了一张表格当中。通过观察不难发现，当前齿轮是四十二个，后齿轮是十四个时，他们的尺数比是三，也就是说，前齿轮转一圈，后齿轮会转三圈。 因此，当同样的圈数选用前齿轮四十二，后齿轮十四的组合，能使自行车走得更远。 你知道吗？变速自行车的前齿轮的大小和后齿轮大小决定了自行车转动脚蹬时的力度， 尺数比越大，那么蹬脚蹬的时候就感到越费力，而尺数比越小时，则脚蹬时 就感到越轻松。通过调整前后齿轮的大小来调整自行车的车速，以应对不同的路况。